Question

18．在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业．其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为$\frac{1}{100}$x²升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为$\frac{1}{2}$x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升．潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．
（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；
（2）若x∈[6，10]，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；
（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？

Answer 1

分析 （1）依题意下潜时间$\frac{50}{x}$分钟，返回时间$\frac{100}{x}$分钟，进而列式可得结论；
（2）通过基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+6在[6，8]上单调递减、在[8，10]上单调递增，比较当x=6、10时的取值情况即得结论；
（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为$\frac{13.5-8}{0.3}$≈18.3分钟．

解答 解：（1）依题意下潜时间$\frac{50}{x}$分钟，返回时间$\frac{100}{x}$分钟，
∴y=$\frac{50}{x}×\frac{{x}^{2}}{100}+10×0.3+\frac{100}{x}×0.32$，
整理得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+3（x＞0）…（4分）
（2）由（1）同理得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+6≥14（x∈[6，10]）
函数在x∈[6，8]是减函数，x∈[8，10]是增函数，
∴x=8时，y_min=14，x=6时，y=$\frac{43}{3}$，x=10，y=$\frac{71}{5}$＜$\frac{43}{3}$，
∴总用氧量y的取值范围是[14，$\frac{43}{3}$]；
（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为$\frac{13.5-8}{0.3}$≈18.3分钟，
所以潜水员最多在水下18分钟．…（12分）

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．