Question

【题目】设A、B为抛物线C：上两点，A与B的中点的横坐标为2，直线AB的斜率为1．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）直线 交x轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）设 ，直线的斜率为1，又因为都在曲线上 ， ,结合利用点差法可得p = 2，从而可得结果；（Ⅱ）求得点的坐标分别为，，， 从而可得直线的方程为，联立方程解得点的坐标为，可得直线的方程为，联立方程，整理得，由，可得结论．

（Ⅰ）设 ，AB 直线的斜率为1，又因为A，B都在曲线C上，

所以 ① ②

-得,

由已知条件得，得p = 2，所以抛物线C的方程是．

（Ⅱ）由题意，可知点的坐标分别为，，，

从而可得直线的方程为，联立方程，

解得． 依题意，点的坐标为，由于，，可得直线的方程为，

联立方程，整理得，

则，从而可知和只有一个公共点．