Question

18．已知椭圆的焦点F₁、F₂在x轴上，P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，又该椭圆经过点A（1，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，该椭圆经过点A（1，-$\frac{3}{2}$）．可得：4c=2a，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由∠F₂F₁P=120°，可得直线PF₁的方程为：y=-$\sqrt{3}$（x+1），与椭圆方程联立解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，该椭圆经过点A（1，-$\frac{3}{2}$）．可得：4c=2a，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b²=3，c=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵∠F₂F₁P=120°，∴直线PF₁的方程为：y=-$\sqrt{3}$（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，点P在第二象限，解得P$（-\frac{8}{5}，\frac{3\sqrt{3}}{5}）$．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$y_P•2c=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．