Question

10．已知数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{2n+1}}={a_{2n-1}}+2，{a_{2n+2}}=3{a_{2n}}，（n∈{N^*}）$．数列{a_n}前n项和为S_n．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_ma_m+1=a_m+2，求正整数m的值；
（Ⅲ）是否存在正整数m，使得$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$恰好为数列{a_n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a_n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；
（Ⅱ）分类讨论即方程的解；
（Ⅲ）化简S_2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3^m-1=3^m-1+m²，S_2m-1=3^m-1-1+m²，从而可得$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=1+$\frac{2}{1+\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}}$，从而讨论求值．

解答 解：（Ⅰ）∵${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{2n+1}}={a_{2n-1}}+2，{a_{2n+2}}=3{a_{2n}}，（n∈{N^*}）$，
∴数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，
数列{a_n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2•{\sqrt{3}}^{n-2}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）若m为奇数，则a_ma_m+1=m•2•$\sqrt{3}$^m-1=m+2，
无解；
若m为偶数，则a_ma_m+1=（m+1）2•$\sqrt{3}$^m-2=2•$\sqrt{3}$^m，
即$\frac{2（m+1）}{3}$=2，
解得，m=2；
综上所述，m=2；
（Ⅲ）由题意知，S_2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3^m-1
=（1+3+5+…+2m-1）+（2+6+18+…+2•3^m-1）
=$\frac{1+2m-1}{2}$•m+$\frac{2（1-{3}^{m}）}{1-3}$
=3^m-1+m²，
S_2m-1=1+2+3+6+…+2m-1
=（1+3+5+…+2m-1）+（2+6+18+…+2•3^m-2）
=$\frac{1+2m-1}{2}$•m+$\frac{2（1-{3}^{m}）}{1-3}$-2•3^m-1
=3^m-1-1+m²，
故$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=$\frac{{3}^{m}+{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{1+\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}}$，
若m=1，则$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=3=a₃，
若$\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}$=1时，即m=2时，$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=2=a₂，
所有满足条件的m值为1，2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用及整体思想的应用，属于中档题．