Question

19．在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）中，若过双曲线左顶点A斜率为1的直线交右支于点B，点B在x轴上的射影恰好为双曲线的右焦点F，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），F（c，0），令x=c，代入双曲线的方程，可得B的坐标，由两点的斜率公式，化简整理，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），F（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由直线AB的斜率为1，可得：
$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$=1，
即有b²=a（c+a），
又b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
即有c-a=a，即c=2a，
e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两点的直线的斜率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于中档题．