Question

7．如图，△ABC中，∠BAC=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE、CF交于D点，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 作辅助线在CB上截取CG=CE，可证出△CED≌△CGD（SAS），即可得出∠EDC=∠GDC，ED=GD，根据三角形的内角和定理，得出∠EBC+∠FCB=60°，在△DBC中，即可求出∠FDE=∠BDC=120°，可证出△BFD≌△BGD，即可得出FD=ED

解答 证明：由三角形内角和定理，在△ABC中，
2∠EBC+2∠FCB+60°=180°，
解得∠EBC+∠FCB=60°，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠EBC+∠FCB）=180°-60°=120°，
∴∠FDE=∠BDC=120°，
在CB上截取CG=CE，由∠ECD=∠GCD，DC=DC，
得：△CED≌△CGD（SAS），
∴∠EDC=∠GDC，ED=GD，
由（1）知∠BDG+∠GDC=120°，
又∵∠BDG+2∠GDC=180°，
解得：∠BDG=∠GDC=∠EDC=60°
在△BFD和△BGD中，∠FBD=∠GBD，∠FDB=∠GDB=60°，BD=BD，
∴△BFD≌△BGD，
∴FD=DG，
∴FD=ED．

点评 此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和定理和全等三角形的判定和性质等知识点，难度适中，属于中档题．