Question

15．已知直线2x+y-10=0过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 求得直线2x+y-10=0与x轴的交点，可得c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=2b，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：直线2x+y-10=0经过x轴的交点为（-5，0），
由题意可得c=5，即a²+b²=25，
由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
由直线2x+y-10=0和一条渐近线垂直，可得：
$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线经过焦点和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．