Question

6．如图，在△ABC中，已知O为边BC的中点，∠A0B=60°，AB=10．
（1）当OA=4$\sqrt{3}$时，求△ABC的面积；
（2）设AC=x，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出B的正弦，进一步求出BC上的高，进一步求出OB的长度，由三角形面积公式求得；
（2）利用正弦定理将OB用角BAO表示，根据角度范围求出OB范围，再由三边关系得到所求．

解答 解：（1）在△AOB中，$\frac{OA}{sinB}=\frac{AB}{sin∠AOB}$，则sinB=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{3}{5}$，所以BC边上的高AD=ABsinB=10×$\frac{3}{5}$=6，
所以OB=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+10×$\frac{3}{5}$=2$\sqrt{3}$+6，所以△ABC的面积2×$\frac{1}{2}$OB×AD=（2$\sqrt{3}$+6）×6=12（$\sqrt{3}$+3）；
（2）在△AOB中，设∠BAO=α，则$\frac{OB}{sinα}=\frac{AB}{sin60°}$，所以OB=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinα，又0≤α＜120°，又BC=2OB，所以BC≤$\frac{40\sqrt{3}}{3}$，
在△ABC中，BC-AB＜AC＜AB+BC即$\frac{40\sqrt{3}}{3}-10$＜x＜$\frac{40\sqrt{3}}{3}+10$．

点评 本题主要考查了利用正弦定理解三角形；属于中档题．