Question

3．已知抛物线y=x²的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x²求解，设d₁、d₂分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．

解答 解：不妨设位于第一象限的交点为A（x₁，y₁）、第二象限的交点为B（x₂，y₂），则x₁＞0，x₂＜0．OA的直线方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=x₁x，F点的坐标为（0，$\frac{1}{4}$）．
设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x²求解，有x²-kx-2=0
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，△=k²+8，x₁=$\frac{1}{2}$（k+$\sqrt{{k}^{2}+8}$）①；线段AB=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{k}^{2}+8）}$②．
设d₁、d₂分别为F到OA、O到AB的距离．
∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d₁．
∴四边形OCAB的面积S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂）．
根据点到直线距离公式，d₁=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}$③，d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$④．
又线段OA=${x}_{1}\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$⑤，
∴将①～⑤代入S，有S=$\frac{1}{16}$（k+17$\sqrt{{k}^{2}+8}$）．
由S对k求导，令导函数=0，可得1+$\frac{17k}{\sqrt{{k}^{2}+8}}$=0，解得k=-$\frac{1}{6}$时，S最小，其值为3．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查面积的计算，考查导数知识，正确求出面积，利用导数求解是解题的关键．