Question

13．在△ABC中，D为边BC上一点，tan∠BAD=$\frac{1}{3}$，tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{2}$AC，BC=3，则AD=（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由两角和与差的正切函数推知∠BAC=45°，结合余弦定理求得AC的长度，由此推知△ABC为直角三角形；然后在直角△ACD中利用勾股定理来求AD的长度即可．

解答 解：如图，∵tan∠BAD=$\frac{1}{3}$，tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=$\frac{tan∠BAD+tan∠CAD}{1-tan∠BAD•tan∠CAD}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}$=1，
∵0＜∠BAC＜180°，
∴∠BAC=45°．
∴cos∠BAC=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$\frac{A{C}^{2}+2A{C}^{2}-9}{2×AC×\sqrt{2}AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则AC=3，
∴AC=BC=3，
∴∠BAC=∠B=45°，
∴∠C=90°．
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了两角和与差的正切函数，余弦定理以及勾股定理，本题难度不大，熟记公式即可解答该题．