Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，若x＞0，f（x）≤$\frac{k-1}{x}$恒成立，则k的取值范围[$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用数形结合，运用恒成立思想可得要使x＞0时，f（x）≤$\frac{k-1}{x}$恒成立，则f（1）≤k-1，且f（3）≤$\frac{k-1}{3}$，f（5）≤$\frac{k-1}{5}$，f（7）≤$\frac{k-1}{7}$，…，即可得到结论．

解答 作出函数f（x）的图象如图，
则f（1）=1，f（3）=$\frac{1}{2}$f（1），
f（5）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{4}$f（1）=$\frac{1}{4}$，
f（7）=$\frac{1}{2}$f（5）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
要使x＞0时，f（x）≤$\frac{k-1}{x}$恒成立，
则f（1）≤k-1，且f（3）≤$\frac{k-1}{3}$，
f（5）≤$\frac{k-1}{5}$，f（7）≤$\frac{k-1}{7}$，…，
即1≤k-1，且$\frac{1}{2}$≤$\frac{k-1}{3}$，$\frac{1}{4}$≤$\frac{k-1}{5}$，$\frac{1}{8}$≤$\frac{k-1}{7}$，…，
则$\left\{\begin{array}{l}{k-1≥1}\\{k-1≥\frac{3}{2}}\\{k-1≥\frac{5}{4}}\\{k-1≥\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，解得k≥$\frac{5}{2}$，
即实数k的取值范围是[$\frac{5}{2}$，+∞），
故答案为：[$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．