Question

2．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，P为平行四边形内一点，且AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），则λ+$\sqrt{2}$μ的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$
丨$\overrightarrow{AP}$丨²=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$）²，
=λ²丨$\overrightarrow{AB}$丨²+μ²丨$\overrightarrow{AD}$丨²+2λμ•$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，
=λ²丨$\overrightarrow{AB}$丨²+μ²丨$\overrightarrow{AD}$丨²+2λμ•丨$\overrightarrow{AB}$丨•丨$\overrightarrow{AD}$丨cos∠BAD，
由∠BAD=60°，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$=λ²+2μ²+$\sqrt{2}$λμ×，
∴（λ+$\sqrt{2}$μ）²=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$λμ≤$\frac{1}{2}$+（$\frac{λ+\sqrt{2}μ}{2}$）²，
λ+$\sqrt{2}$μ≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了数量积定义及其运算性质、不等式的性质、平行四边形的性质，属于中档题．