Question

【题目】对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；
（2）设f（x）= （x∈[1，e ]），g（x）=mlnx（x∈[1，e ]）．（e≈2.718）
①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求满足条件的最大正整数a；
②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|= |sin（x﹣ ）|≤ ，

当x=kπ+ ，k∈Z时取“=”，所以||f（x），g（x）||=

（2）解：①令h（x）=f（x）﹣g（x）= ﹣2lnx．则h′（x）= ﹣ = ，令h′（x）=0，则x=16．列表：

x	（0，16）	16	（16，+∞）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	↘		↗

∵h（1）=1；当a=3时，h（ ）= ﹣3，由于e3＞16，因此 ＞2，所以 ﹣3＞﹣1；

当a=4时，h（ ）=e﹣4＜﹣1，故满足条件的最大正整数为3．

②令h（x）=f（x）﹣g（x）= ﹣mlnx，则h′（x）= ﹣ = ．

若m≤ ，则h′（x）≥0，从而h（x）在[1，e]上递增，又h（1）=1，h（e）= ﹣m，所以 ﹣m=2，m= ﹣2；

（ii）若m≥ ，则h′（x）≤0，从而h（x）在[1，e]上递减，又h（1）=1，h（e）= ﹣m，所以 ﹣m=﹣2，m= ﹣2；

（iii）若 ＜m＜ ，则由h′（x）=0，可得x=4m2，列表

x	1	（1，4m2）	4m2	（4m2，e）	e
h′（x）		﹣	0	+
h（x）	1	↘	2m﹣mln（4m2）	↗	﹣m

因为 ﹣m＜ ﹣ ＜2，所以2m﹣mln（4m2）=﹣2，

令u（m）=2m﹣mln（4m2）=m（2﹣ln4）﹣2mlnm

∴u′（m）=2﹣ln4﹣2﹣2lnm=﹣ln4﹣2lnm=﹣2 ln2m＜0，

∴u（m）＞u（ ）= ﹣ = ，故该情况不成立．

综上，m的取值范围是{ ﹣2， +2}

【解析】（1）直接根据题设“差距”定义可转化为三角函数求值问题；（2）①利用函数的单调性可直接求出最大正整数；②构造新函数h（x）=f（x）﹣g（x）= ﹣mlnx，
对h（x）求导，参数m分类讨论根据函数的单调性求出m的取值范围；
【考点精析】掌握函数的值和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法；一般的,函的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．