Question

16．已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=27，函数g（x）=λ•2^ax-4^x的定义域为[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若λ=2，试判断函数g（x）在[0，2]上的单调性，并加以证明；
（3）若函数g（x）的最大值是$\frac{1}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数表达式，结合题意得3^a+2=27，利用指数的运算性质可得实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}{λ}^{2}$，其中t∈[1，4]．再根据二次函数的单调性进行分类讨论，分别建立关于λ的方程，解之并加以检验，最后综合可得函数g（x）的最大值是$\frac{1}{3}$时，实数λ的值$\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）27=3^a+2=3³，∴a=1．
（2）由（1）及λ=2得，g（x）=2•2^x-4^x．
任取0≤x₁＜x₂≤2，则x₂-x₁＞0，
∴g（x₂）-g（x₁）=$（2•{2^{x_2}}-{4^{x_2}}）-（2•{2^{x_1}}-{4^{x_1}}）$=$[2•{2^{x_2}}-{（{2^{x_2}}）^2}]-[2•{2^{x_1}}-{（{2^{x_1}}）^2}]$
=$2•（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）-[{（{2^{x_2}}）^2}-{（{2^{x_1}}）^2}]$=$（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）[2-（{2^{x_2}}+{2^{x_1}}）]$
∵0≤x₁＜x₂≤2，∴$1≤{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}≤4$，
∴$（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）$＞0，${2^{x_2}}+{2^{x_1}}＞2$
∴2-$（{2^{x_2}}+{2^{x_1}}）$＜0，
∴$（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）[2-（{2^{x_2}}+{2^{x_1}}）]$＜0
即g（x₂）-g（x₁）＜0，
即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在[0，2]上是减函数，
（3）设t=2^x，∵0≤x≤2，
∴1≤2^x≤4．
∴1≤t≤4．
y=-t²+λt=$-{（t-\frac{λ}{2}）^2}+\frac{λ^2}{4}$，1≤t≤4．
①当$\frac{λ}{2}$＜1，即λ＜2时，y_max=λ-1=$\frac{1}{3}$，∴λ=$\frac{4}{3}$；
②当1≤$\frac{λ}{2}$E≤4，即2≤λ≤8时，y_max=$\frac{λ^2}{4}=\frac{1}{3}$，∴λ=$\frac{{±2\sqrt{3}}}{3}$∉[2，8]（舍）；
③当$\frac{λ}{2}$＞4，即λ＞8时，y_max=-16+4λ=$\frac{1}{3}$，∴λ=$\frac{49}{12}$＜8（舍）．
综上λ=$\frac{4}{3}$

点评 本题给出指数函数，求特殊函数值对应的自变量并依此求“类二次函数”的最值问题．着重考查了指数函数的性质、二次函数在闭区间上的最值讨论等知识，属于中档题．