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    【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

    （1）若3，求△ABC的面积；

    （2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围.

    【答案】（1）（2）（，）.

    【解析】

    （1）利用正弦定理可求角A，结合数量积3，可求△ABC的面积；

    （2）结合角之间的关系，把2cos2B+cos2C化简为，然后结合角的范围可求.

    （1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

    ∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

    ∵B为三角形内角，sinB≠0，

    ∴cosA，

    又∵A∈（0，π），

    ∴A，

    ∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

    ∴S△ABCbcsinA.

    （2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

    ∴2B∈（，），

    ∴cos（2B）∈（，），

    ∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

    ∴2cos2B+cos2C的取值范围（，）.

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    【题目】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.

    (1)求的方程，并说明是什么曲线；

    (2)若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为和，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为和.根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度都服从正态分布，长度在之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流入市场，其他长度的钢管为正品.

    （1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率；

    （2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为，标准长分别为，则“口径误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是（正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：

    　　　　甲种钢管　　　　　　　　　　　　　　　乙种钢管

    已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为0.3，“二级品”的利润率为0.18，“合格品”的利润率为0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利润率为0.25，“二级品”的利润率为0.15，“合格品”的利润率为0.08，若视频率为概率.

    （ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货，和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；

    （ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？

    附：若随机变量服从正态分布，则，，，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.

    (1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

    (2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

    表1：男生

    时长

    人数

    2

    8

    16

    8

    4

    2

    表2：女生

    时长

    人数

    0

    4

    12

    12

    8

    4

    （1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

    （2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

    每周运动的时长小于15小时

    每周运动的时长不小于15小时

    总计

    男生

    女生

    总计

    参考公式：，其中.

    参考数据：

    0.40

    0.25

    0.10

    0.010

    0.708

    1.323

    2.706

    6.635

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    【题目】如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_____；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为_______.

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    【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.

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    【题目】为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任务所需的时间分布.以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（ ）

    ①总体看女性处理多任务平均用时更短；

    ②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；

    ③男性的时间分布更接近正态分布；

    ④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数.

    A.①④B.②③C.①③D.②④

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数与仰卧起坐

    个数之间的关系如下：；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：

    （1）计算值；

    （2）以此样本的频率作为概率，求

    ①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于的概率；

    ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.

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