Question

已知函数f（x）=xlnmx（m＞0），g（x）=-x²+2ax-3，且f（x）在x=e处的切线方程为2x-y-e=0，
①求m的值．
②若y=a•f（x），y=g（x）在区间[1，3]上的单调性相同，求实数a的取值范围．
③求证：对任意的x∈（0，+∞），都有．

Answer 1

①解：f′（x）=lnmx+1，所以切线斜率为k=lnem+1=2 （1分）
所以m=1 （2分）
②解：若a＞0 则当x∈[1，3]，f′（x）＞0，
∴f（x）单调递增，（3分）
故g（x） 在[1，3]上单调递增，从而对称轴x=a≥3，综合有a≥3 （4分）
若a＜0，则当x∈[1，3]，f′（x）＜0，
∴f（x）单调递减，故g（x） 在[1，3]上单调递减，从而对称轴x=a≤1
综合有：a＜0（6分）
若a=0，f（x） 不是单调函数，不符合题意．
综上所述：a 的取值范围是a≥3 或者a＜0 （7分）
③（i）当x∈（0，），f′（x）＜0，函数单调递增，
（ii ）当，f′（x）＞0，函数单调递增
所以当 时，f（x） 取最小值，（9分）
令，则
所以当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减
则当x=1 时，h（x） 取最大值，（11分）
因此，但等号不能同时成立．
故 （13分）
分析：对函数求导f′（x）=lnmx+1，结合导数的几何意义可知切线斜率为k=lnem+1=2 可求m
②先求函数f（x）的单调区间，然后对a分类讨论：a＞0 时，a＜0，求函数y=af（x）在[1，3]上的单调性，结合二次函性质可求a的范围
③要证明x∈（0，+∞），都有，令，只要证即可
点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，导数在判断函数的单调区间、极值、最值中的应用，及利用导数的最值与不等式证明中的应用．