Question

【题目】已知函数

（1）若，求的最大值；

（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称为的“伴随函数”.已知函数，.若在区间上，函数是的“伴随函数”，求实数的取值范围；

（3）若，正实数满足，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，由导数研究函数的单调性得出最大值；

（2）问题等价于对恒成立，

且对恒成立，利用导数研究不等式恒成立可得参数取值范围；

（3）把，变形为（令），求出的最小值后解相应不等式（关于的不等式），可得结论．

解：（1）当时，，

当时，令，解得.

列表如下：

		0
	↑	极大值	↓

所以，当时取得极大值，也即是最大值.

所以的最大值是

（2）在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立，

且对恒成立，

（*）

①若，令，得极值点，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，也不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只需满足，所以.

又因为在上是减函数.，所以.

综合可知的取值范围是.

（3）当时，.因为，

所以.

令，则，

令则令解得当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时取得极大值即最大值，所以，

解得