Question

1．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，集合B={y|y=x²-4x+a}，集合C={x|x²-ax-4≤0}．命题p：A∩B≠?；命题q：A∩C=A．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A、B，根据A∩B=Φ，求出a的范围即可；
（2）分别求出p，q为真时的a的范围，取交集即可．

解答 解：（1）∵A={x|x²-3x+2≤0}，B={y|y=x²-4x+a}，
∴A=[1，2]，B=[a-4，+∞），---------------------------4分
若p为假命题，则A∩B=Φ，故a-4＞2，即a＞6．-------------------------7分
（2）命题p为真，则a≤6．------------------------------8分
命题q为真，即转化为当x∈[1，2]时，f（x）=x²-ax-4≤0恒成立，--------10分
（解法1）则$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1-a-4≤0\\ f（2）=4-2a-4≤0\end{array}$解得a≥0．--------------------------13分
{（解法2）当x∈[1，2]时，a≥x-$\frac{4}{x}$恒成立，而x-$\frac{4}{x}$在[1，2]上单调递增，故a≥（x-$\frac{4}{x}$）_max=0．------------------13分  }
故实数a的取值范围是[0，6]．-------------------------15分．

点评 本题考查了集合的运算性质，考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，是一道中档题．