Question

6．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当$x∈[0，\frac{π}{2}）$时，f（x）=sinx，则$f（\frac{8}{3}π）$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，可得$f（\frac{8}{3}π）$=f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{3}$），进而由当$x∈[0，\frac{π}{2}）$时，f（x）=sinx，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，
∴$f（\frac{8}{3}π）$=f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{3}$），
又由当$x∈[0，\frac{π}{2}）$时，f（x）=sinx，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$f（\frac{8}{3}π）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性与函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．