Question

点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x²+y²=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　）

• A、

  6

• B、2
• C、2

  6

• D、4

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S_PAOB=2S_△PAO=2PA的最小值，转化为求PA最小值，由于PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求

解答： 解：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，S_PAOB=2S_△PAO=2PA
又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小
点P是直线l：3x+y+10=0上的动点，
当PO⊥l时，PO有最小值d=

10

，PA=

6

所求四边形PAOB的面积的最小值为2

6

．
故选：C．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．