Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明AC⊥BC，EC⊥AC，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）利用空间向量，求出平面BDC的一个法向量，平面BDE的法向量，利用空间向量的数量积即可求二面角E-BD-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，
由余弦定理可知：BD²=CD²+CB²-2CD•CB•cos（180⁰-∠DAB）=3CD²，
即BD=

3

CD=

3

AD，…（2分）
在△ABD中，∠DAB=60°，BD=

3

AD，
则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC　　…（4分）
又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE；　　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，
则CA=BD=

3

，
建立如图所示的空间直角坐标系，E(0，01)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，…（9分）
向量

n

=(0，0，1)为平面BDC的一个法向量．
设向量

m

=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则

m• BD =0 m • EB =0

，即

3 2 x- 3 2 y=0 y-z=0

，
取y=1，则x=

3

，z=1，则

m

=(

3

，1，1)为平面BDE的一个法向量．…（10分）cos＜

m

，

n

＞=

m• n

| m || n |

=

1

5

=

5

5

，
而二面角E-BD-C的平面角为锐角，则
二面角E-BD-C的余弦值为

5

5

．…（12分）

点评：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．