Question

15．已知椭圆$\frac{y^2}{9}$+x²=1，过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直线与椭圆交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（　　）

• A． 9x+y-5=0
• B． 9x-y-4=0
• C． 2x+y-2=0
• D． x+y-5=0

Answer 1

分析 将A和B点坐标代入椭圆方程，两式相减求得：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，由中点弦公式及直线的斜率公式，求得直线斜率，代入点斜式方程，即可求得直线AB的方程．

解答 解：直线AB与椭圆$\frac{y^2}{9}$+x²=1相交于AB两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）为AB的中点，
∴x₁+x₂=1   y₁+y₂=1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：9x+y-5=0，
故答案为：A．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，中点弦公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．