Question

已知函数f(x)=ln(x+2)+

a

x

，g(x)=blnx，
（Ⅰ） 若b＞0，x₂＞x₁＞e，求证：x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在（0，+∞）内的单调性；
（Ⅲ）是否存在正实数a，b，使方程f（x）=g（x）有两个不相等的实数根？若存在，求出正实数a，b应满足的条件；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）引入新函数y=

lnx

x

，研究其单调性知其是一个减函数，x₂＞x₁＞e比较其函数值，整理即可得到结论．
（Ⅱ）对函数f(x)=ln(x+2)+

a

x

，求导，利用导数研究其单调性，由于导数中含有参数a故要对其取值范围进行讨论．
（Ⅲ）方程f（x）=g（x）有两个不相等的实数根即f（x）-g（x）=0有两个根，故可以构造新函数F（x）=f（x）-g（x），研究函数的性质确定其有两个零点的条件，即可解出参数a，b的值或确定其不存在．

解答：解：（Ⅰ）证明：设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，当x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）内是减函数，又x₂＞x₁＞e，∴h（x₁）＞h（x₂）即

lnx1

x1

＞

lnx2

x2

，故得x₂lnx₁＞x₁lnx₂．又b＞0，故有bx₂lnx₁＞bx₁lnx₂，即x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）由题意，f′(x)=

1

x+2

-

a

x2

=

x2-ax-2a

(x+2)x2

，x∈（0，+∞）
①当a≤0时，对于x∈（0，+∞），由f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a＞0时，由f'（x）＞0，解得x＞

a+ a2+8a

2

，由f'（x）＜0，解得0＜x＜

a+ a2+8a

2

，∴函数f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）内是减函数，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）内是增函数．综上当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，函数f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）内是减函数，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）内是增函数．
（Ⅲ）设F（x）=f（x）-g（x）=ln(x+2)+

a

x

-blnx，其中a，x∈（0，+∞），则F′（x）=

1

x+2

-

a

x2

-

b

x

，
当0＜b≤1时，由于x∈（0，+∞），可得ln（x+2）＞blnx又

a

x

＞0，故F（x）＞0恒成立，此时不可能有零点；
当b＞1时，∵

1

x+2

＜

b

x

∴

1

x+2

-

b

x

＜0又

a

x2

＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上是减函数，因此它在定义域内至多有一个零点，
综上，无论a，b为怎么样的正实数，函数都不可能有两个零点，故不存在这样的正实数a，b使得使方程f（x）=g（x）有两个不相等的实数根．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是求出导数，根据函数的解析式与导数的形式对函数的单调性进行研究，本题中的第二小题属于探究型题目，要根据所能得出的性质对函数的性质进行推测，如本题中0＜b≤1时没有从导数的角度研究零点的存在性，而采取了从函数值恒正的角度，解题时根据题设条件选择合适的角度对问题进行研究很关键．本题运算量较大，易因运算马虎出错，变形时一定要严谨．