Question

11．在等差数列{a_n}中，若a_n=8-3n．
（1）求{a_n}前n项之和S_n；
（2）求数列{|a_n|}的前10项之和T₁₀；
（3）求数列{|a_n|}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列{a_n}中，a_n=8-3n．利用等差数列的前n项之和公式即可得出．
（2）由a_n=8-3n≥0，解得n≤$\frac{8}{3}$，因此n≤2．可得数列{|a_n|}的前10项之和T₁₀=a₁+a₂-a₃-…-a₁₀=2S₂-S₁₀．
（3）当n≤2时，a_n≥0，可得T_n=S_n=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n．n≥3时，T_n=2S₂-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a_n=8-3n．
∴{a_n}前n项之和S_n=$\frac{n（5+8-3n）}{2}$=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n．
（2）由a_n=8-3n≥0，解得n≤$\frac{8}{3}$，因此n≤2．
∴数列{|a_n|}的前10项之和T₁₀=a₁+a₂-a₃-…-a₁₀=2S₂-S₁₀=$2×（-\frac{3}{2}×{2}^{2}+\frac{13}{2}×2）$-$[-\frac{3}{2}×1{0}^{2}+\frac{13}{2}×10]$=99．
（3）当n≤2时，a_n≥0，∴T_n=S_n=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n．
n≥3时，T_n=2S₂-S_n
=14-（-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{13}{2}$n+14．
∴数列{|a_n|}的前n项之和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n，n=1，2}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{13}{2}n+14，n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、绝对值数列求和问题、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．