Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2（x﹣ ）﹣ sin2x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（ ， ）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣ ）﹣ sin2x+2= cos2x﹣ sin2x+2=cos（2x+ ）+2， 由2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，得k ≤x≤k ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[k ，k ]，k∈Z，．
（或者：f（x）= ﹣ +2= cos2x﹣ +2
=﹣ +2，
令 +2kπ≤ ≤ +2kπ，k∈Z．
则 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z．…（5分）
∴f（x）的单调递增区间为：[ +kπ， +kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
∴﹣1≤cos（ ）≤﹣ ，1≤cos（2x+ ）+2 ，
（或者：∵ ，∴
∴ ≤ ≤1∴1≤﹣ +2≤
∴f（x） ，f（x）min=1．
若f（x）≥log2t恒成立，∴则log2t≤1，
∴0＜t≤2，
即t的取值范围为（0，2]
【解析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+ ）+2，由2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由 ，可得 ，解得1≤cos（2x+ ）+2 ，求得f（x） ，f（x）min=1，由题意log2t≤1，从而解得t的取值范围．