Question

已知函数f（x）=ax²+

b

x

+5（其中常数a，b∈R）满足f（2）+f（-2）=26．
（1）若f（-1）=-2000，求f（1）；
（2）若b=-3，证明：f（x）恰有一个零点．
（3）若函数φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x（x∈（0，1））的值域为（0，

15

2

），求b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立方程求出a的值，根据f（-1）=-2000，即可求f（1）；
（2）若b=-3，根据函数零点的判断方法即可证明f（x）恰有一个零点．
（3）根据函数的单调性的定义判断函数的单调性，结合值域关系即可得到结论．

解答： 解：（1）由f(2)=4a+

b

2

+5，f(-2)=4a-

b

2

+5，得f（2）+f（-2）=8a+10
因为f（2）+f（-2）=26，所以8a+10=26，a=2
所以f（1）+f（-1）=a+b+5+a-b+5=2a+10=14
又f（-1）=-2000，故f（1）=2014
（2）由（1）得a=2，又b=-3，所以f(x)=2x2-

3

x

+5
当x＜0时，f（x）＞0恒成立，
所以f（x）在f(

1

2

)=

3

2

＞0，f(

1

4

)=-

23

8

＜0上没有零点；
当x＞0时，由于函数y=2x²+5与函数y=-

3

x

均在（0，+∞）上单调递增，
所以f(2)=2x2-

3

x

+5在（0，+∞）上单调递增．
且f(1)=4＞0，f(

1

2

)=-

1

2

＜0，即f(1)•f(

1

2

)＜0
所以f（x）恰有一个零点．
（3）由（1）得a=2，所以ϕ（x）=2x³+5x+b+2^x+2^-x
令h（x）=2^x+2^-x，设0≤x₁＜x₂≤1，
则 h(x1)-h(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

因为0≤x₁＜x₂≤1，所以2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0
所以h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），所以h（x）在（0，1）上为增函数，
又因为函数y=2x³与函数y=5x+b在（0，1）上均为增函数，所以ϕ（x）在（0，1）上为增函数，
所以ϕ（x）在（0，1）上的值域为(b+2，b+

19

2

)，
又因为ϕ（x）在（0，1）上的值域为(0，

15

2

)，所以

b+2=0 b+ 19 2 = 15 2

，解得b=-2，
所以b的值是-2．

点评：本题主要考查函数性质的综合应用，求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数性质的综合应用．