Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

2n

Sn

（n∈N^*）证明：b₁+b₂+…+b_n＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a₁=2，得an=4an-1+2n，由此能推导出{an+2n}是首项为4，公比为4的等比数列，从而得到an=4n-2n．
（Ⅱ）由an=4n-2n．得S_n=

2(2n+1-1)(2n-1)

3

，b_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜

3

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n∈N^*），
∴a1=S1=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

an-

4

3

an-1-

1

3

×2n，
整理，得an=4an-1+2n，
∴an+2n=4(an-1+2n-1)，a1+21=4，
∴{an+2n}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4n，
∴an=4n-2n．
（Ⅱ）证明：∵an=4n-2n．
∴S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

2(2n+1-1)(2n-1)

3

，
∴b_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=

3

2

(

1

2-1

-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．