Question

如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且

BG

GC

=

DH

HC

=2，求证：EG，FH，AC相交于同一点P．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意连接EF、HG、GE、FH、AC，根据比例关系和中位线证明出四边形EFHG是梯形，EG、FH相交于一点P，由面ABC∩面ACD=AC，知EG、FH的交点P必在AC上，所以EG、FH、AC相交于同一点P．

解答： 证明：连接EF、HG、GE、FH、AC，如图：
∵BG：GC=DH：HC=2：1，
∴HG∥DB，且HG=

1

3

BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，且EF=

1

2

BD，
∴四边形EFHG是梯形，
∴EG、FH相交于一点P，
∵面ABC∩面ACD=AC，
∴EG、FH的交点P必在AC上，
∴EG、FH、AC相交于同一点P．

点评：本题考查了线线平行关系，主要根据平面几何中比例关系和中位线来证明线线平行，即平面几何中的知识在空间几何的一个平面内仍然适用．