Question

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．
（2）利用向量法求线面角的大小．

解答： 解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M（0，1，1）…3

AM

=（0，1，1），

EC

=（0，2，0）-（0，0，2）=（0，2，-2），

CB

=（2，2，0）-（0，2，0）=（2，0，0），
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC． …（5分）
（2）∵AM⊥平面EBC，∴

AM

为平面EBC的一个法向量，
∵

AM

=（0，1，1），

AB

=（2，2，0），
∴cos＜

AB

，

AM

＞=

AB • AM

| AM || AB |

=

1

2

．
∴＜

AB

，

AM

＞=60°．
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）

点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．