Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）求平面ABCD与平面A₁BE所成二面角的平面角的正弦值；
（Ⅱ）请问：在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，以

AB

，

AD

，

AA1

为单位正交基底建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值．
（Ⅱ） 利用向量法能求出在棱C₁D₁上存在一点F（F为C₁D₁的中点），使B₁F∥平面A₁BE．

解答： 解：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，如图所示，
以

AB

，

AD

，

AA1

为单位正交基底建立空间直角坐标系．
依题意，得B（1，0，0），E（0，1，

1

2

），A（0，0，0），
D（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴

BE

=（-1，1，

1

2

），

BA1

=（-1，0，1）
设

n

=（x，y，z）是平面A₁BE的一个法向量，…4分
则由

n

•

BA1

=0，

n

•

BE

=0，得

-x+z=0 -x+y+ 1 2 z=0

所以x=z，y=

1

2

z．取z=2，得

n

=（2，1，2）．
取平面ABCD的一个法向量为

m

=（0，0，1），
则cos＜

n

，

m

＞=

2

3•1

=

2

3

，∴sin＜

m

，

n

＞=

5

3

．
即所求二面角的平面角的正弦值为

5

3

．…8分
（Ⅱ） 在棱C₁D₁上存在一点F（F为C₁D₁的中点），使B₁F∥平面A₁BE．
证明如下：
设F是棱C₁D₁上的点，则F（t，1，1）（0≤t≤1）又B₁（1，0，1），

B1F

=（t-1，1，0），由（Ⅰ）知，平面A₁BE的一个法向量为

n

=（2，1，2）．
而B₁F?平面A₁BE，
于是B₁F∥平面A₁BE，∴

B1F

•

n

=（t-1，1，0）•（2，1，2）=0，
∴2（t-1）+1=0，解得t=

1

2

，
∴F为C₁D₁的中点．
这说明在棱C₁D₁上存在一点F（F为C₁D₁的中点），使B₁F∥平面A₁BE．…14分．

点评：本题考查二面角的正弦值的求法，考查使直线与平面平行的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．