Question

如图，直三棱柱ABC-₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，AA₁=4，AC⊥BC，点D在线段AB上．
（Ⅰ）若D是AB中点，证明AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）当

BD

AB

=

1

3

时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．利用向量法能证明AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）求出平面BCD的法向量和平面B₁ CD的法向量利用向量法能求出二面角B-CD-B₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B（3，0，0），A（0，4，0），A₁ （0，4，4），B₁ （3，0，4），C₁ （0，4，4）

AC1

=（0，-4，4）
设平面B₁ CD的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

B1C

•

m

=（-3，0，-4）•（x，y，z）=-3x-4z=0
且

CD

•

m

=(

3

2

，2，0)•(x，y，z)=

3

2

x+2y=0，
令x=4得

m

=(4，-3，-3)，
∴

AC1

•

m

=(0，-4，4)•(4，-3，-3)=0，
又AC₁不包含于平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵点D在线段AB上，且

BD

AB

=

1

3

，即

BD

=

1

3

BA

．
∴a=2，b=

4

3

，

BD

=（-1，

4

3

，0）．
∴

B1C

=（-3，0，-4），

CD

=（2，

4

3

，0）．
平面BCD的法向量为

n

=(0，0，1)．
设平面B₁ CD的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

B1C

•

m

=0，

CD

•

m

=0，得

3x+4=0 2x+ 4 3 y=0

，
∴x=-

4

3

，y=2，

m

=(-

4

3

，2，1)．
设二面角B-CD-B₁的大小为θ，
∴cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

3

61

=

3 61

61

．
∴二面角B-CD-B₁的余弦值为

3 61

61

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．