Question

将最小正周期为3π的函数f（x）=cos（ωx+φ）-sin（ωx+φ）（ω＞0），|φ|＜

π

2

的图象向左平移

π

4

个单位，得到偶函数图象，则φ可能为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据f（x）的周期性求得ω=

2

3

，可得f（x）=

2

cos（

2

3

x+φ+

π

4

），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的值．

解答： 解：∵f（x）=cos（ωx+φ）-sin（ωx+φ）=

2

cos（ωx+φ+

π

4

）的最小正周期为3π，|
∴

2π

ω

=3π，ω=

2

3

，f（x）=

2

cos（

2

3

x+φ+

π

4

）．
把f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到偶函数y=

2

cos[

2

3

（x+

π

4

）+φ+

π

4

]=

2

cos（

2

3

x+φ+

5π

12

）的图象，
可得φ+

5π

12

=kπ，k∈z．
再结合|φ|＜

π

2

，可得 φ=-

5π

12

，
故答案为：-

5π

12

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性、周期性，属于基础题．