Question

19．方程lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根据对数方程的性质将方程转化为不等式组，利用一元二次方程根与判别式△的关系进行讨论求解即可．

解答 解：原方程等价于条件组：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4ax＞0}\\{4x-a+1＞0}\\{4{x}^{2}+4ax=4x-a+1}\end{array}\right.$，
由4x²+4ax=4x-a+1得4x²+4（a-1）x+a-1=0．
△=16（a-1）²-16（a-1）=16（a-1）（a-2）．
当△=0时，得a=1，或a=2．
代入条件组中可知，①a=1时，$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4x＞0}\\{4x＞0}\\{4{x}^{2}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-1}\\{x＞0}\\{x=0}\end{array}\right.$，不等式组无解，
②当a=2时．$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+8x＞0}\\{4x＞1}\\{4{x}^{2}+4x+1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-2}\\{x＞\frac{1}{4}}\\{x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，不等式组无解．故△≠0．
当△＞0时，有a＜1或a＞2．此时$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{a-1}{4}}\\{4{x}^{2}+4（a-1）x+a-1=0}\end{array}\right.$，
若此时lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，
则等价为方程4x²+4（a-1）x+a-1=0在（$\frac{a-1}{4}$，+∞）上有唯一一个解，
若方程的一个根为x=$\frac{a-1}{4}$，代入方程4（$\frac{a-1}{4}$）²+4（a-1）•$\frac{a-1}{4}$+a-1=0
得$\frac{a-1}{4}$+（a-1）=-1，得a=$\frac{1}{5}$，
设4x²+4（a-1）x+a-1=0有两不等实根x₁，x₂（$\frac{1}{5}$≤a≤1）
由前可知，a≠1．当a=$\frac{1}{5}$时，条件组中的方程为4x²-$\frac{16}{5}$x-$\frac{4}{5}$=0．
则x₁=-$\frac{1}{5}$，x₂═1．此时，$\frac{a-1}{4}$=-$\frac{1}{5}$．
满足x₁≤$\frac{a-1}{4}$，x₂＞$\frac{a-1}{4}$．
综上可知，$\frac{1}{5}$≤a＜1．即a∈[$\frac{1}{5}$，1）．
故答案为：[$\frac{1}{5}$，1）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据对数方程的等价条件进行转化，结合一元二次函数根与判别式△的关系进行讨论，注意对数对定义域的限制要求．