Question

探究函数f（x）=x+

4

x

-2，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	6.5	3	2.17	2.05	2.005	2	2.005	2.02	2.04	2． 3	3	3.8	5.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（Ⅰ）函数f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在区间

 

上递增；当x=

 

时，y_最小=

 

．
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在区间（0，2）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由表中数据即可得出函数的增区间以及函数取到最小值时的自变量的值及函数值；
（2）由定义法可直接证明函数f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在区间（0，2）上是减函数；

解答： 解：（1）由表中的数据可知，函数f(x)=x+

4

x

-2(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+

4

x

-2(x＞0)在区间（2，+∞）上递增．
当x=2时，y_最小=2．…（6分）
（2）设x₁，x₂是（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

…（9分）
∵

0＜x1＜x2＜2

，
∴

x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0

，
∴

f(x1)-f(x2)＞0

，
即 f（x₁）＞f（x₂）所以f（x）在 （0，2）上是 减函数    …（12分）

点评：本题考查列表法表示函数单调性及函数单调性的证明，属于函数中基本题，定义法证明单调性要注意表述的格式