Question

设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；　　　　　　　　　　
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数；　　
（4）若f（x）-f（2-x）＞1，求x的范围．

Answer 1

解：（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）•f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；
（2）由（1）中结论，令m=-n
则f（0）=f（-n+n）=f（-n）•f（n）=1，可得f（-n）=
因此，f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0时，f（0）=1
∴当x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，可得
f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
根据=f（x₁-x₂）＜1，可得0＜f（x₁）＜f（x₂）
因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）-f（2-x）=f（），f（0）=1，
∴不等式f（x）-f（2-x）＞1，即f（）＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．
分析：（1）根据已知等式，取m=0得f（n）=f（0）•f（n），从而得到f（0）=1；
（2）令m=-n，结合（1）的结论，推得f（x）与f（-x）互为倒数，结合当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用不等式的倒数法则，结合f（0）=1可证出x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，根据题中等式证出f（x₁）=f（x₂）•f（x₁-x₂）．再根据当x∈R时，恒有f（x）＞0，利用作商法可得f（x₁）＜f（x₂），进而根据函数单调性的定义得到f（x）在R上是减函数；
（4）根据（1）和（3）的结论，将不等式f（x）-f（2-x）＞1转化成f（）＞f（0），再由函数的单调性，解关于x的分式不等式，即可得到所求x的取值范围．
点评：本题给出抽象函数，证明函数的单调性并求关于x的不等式的解集，着重考查了函数的单调性、分式不等式的解法和抽象函数的理解等知识点，属于中档题．