Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=32，，a_n+1＜a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n的最大值及相应的n值．

Answer 1

解：（1），a_n+1＜a_n，
所以：．
以为首项．
所以，通项公式为：．
（2）设b_n=log₂a_n，则b_n=log₂2^7-n=7-n．
所以{b_n}是首项为6，公差为-1的等差数列．
=．
因为n是自然数，所以n=6或n=7时，T_n最大，其最值是T₆=T₇=21
分析：（1）根据等比数列的性质可知第八项与第二项的比值等于公比的六次方，利用已知即可求出公比的值，然后根据第二项的值与求出公比的值求出首项，根据首项和公比写出等比数列的通项公式即可；
（2）设b_n=log₂a_n，把第一问求出的通项公式代入即可得到b_n的通项公式，从而根据通项公式得到b_n为等差数列，根据首项和公差，根据等差数量的前n项和的公式得到T_n的通项，利用二次函数求最值的方法即可得到T_n的最大值及相应的n值．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等比数列的性质及二次函数求最值的方法，是一道综合题．