Question

9．已知函数f（x）=x³的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）-2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是2．
其中所有正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 根据三次函数的性质分别进行判断即可．

解答 解：①若点M在曲线C上，在点M的切线斜率只有一个，所以在点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，
若过点M，则有可能其他的切线也经过M，此时对应的切线不一定是一条，如图，故①错误，
②函数f（x）=x³是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中项是同一个常数0，故正确；
③设函数g（x）=|f（x）-2sin2x|=|x³-2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；故③正确，
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）³≤8x³，
即f（x+a）≤f（2x），
即x+a≤2x，∴x≥a
∵f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，
∴a≤1，∴a的最大值是1，故不正确，
故答案为：②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三次函数的图象和性质，综合性较强，有一定的难度．