Question

1．设a∈[1，4]，b∈[1，4]，现随机地抽出一对有序实数对（a，b）使得函数f（x）=4x²+a²与函数g（x）=-4$\sqrt{b}$x的图象有交点的概率为（　　）

• A． $\frac{5}{27}$
• B． $\frac{5}{16}$
• C． $\frac{5}{54}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 根据条件求出a，b对应的平面区域，利用定积分求得曲边梯形的面积，结合几何概型的概率公式即可得答案．

解答 解：在区间[1，4]上随机取两个数a和b，则$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤4}\\{1≤b≤4}\end{array}\right.$，对应区域的面积为9
要使函数f（x）=4x²+a²与函数g（x）=-4$\sqrt{b}$x的图象有交点，即方程4x²+a²=-4$\sqrt{b}$x有实数根，
也就是方程$4{x}^{2}+4\sqrt{b}x+{a}^{2}=0$有实数根．
则△=16b-16a²≥0，即b≥a²．
如图，
由${∫}_{1}^{2}（{a}^{2}-1）da=（\frac{1}{3}{a}^{3}-a）{|}_{1}^{2}$=$\frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$．
∴使得函数f（x）=4x²+a²与函数g（x）=-4$\sqrt{b}$x的图象有交点的概率为$\frac{3-\frac{4}{3}}{9}=\frac{5}{27}$，
故选：A．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，作出对应的平面区域，求出相应的面积是解决本题的关键，是中档题．