Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{2^n}$（n=1，2，3，…），则S_2n-1=$\frac{4}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]$．

Answer 1

分析 通过分组可知S_2n-1表示的是以1为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列的前n项和，计算可得结论．

解答 解：依题意，S_2n-1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-2}}$=1+$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$，
故答案为：$\frac{4}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．