Question

16．数列{a_n}满足：a₁=2，a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$，其中S_n为{a_n}的前n项和，则a_n=2n，S_n=n²+n．

Answer 1

分析 将n换为n-1，可得a₁+2a₂+…+（n-1）a_n=$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，与原式相减，化简可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，再由数列恒等式S_n=S₁•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$，化简可得S_n=n²+n．再由当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2n．

解答 解：a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$，
将n换为n-1（n≥2），可得a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，
两式相减可得na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$-$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，
即为na_n=S_n+S_n-1，由a_n=S_n-S_n-1，可得
$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
则S_n=S₁•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=2•$\frac{3}{1}$•$\frac{4}{2}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{n}{n-2}$•$\frac{n+1}{n-1}$
=n（n+1），
当n=1时，a₁=S₁=2，上式也成立；
由a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n．对n=1也成立．
故答案为：2n，n²+n．

点评 本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．