Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB，若a=3，则△ABC的面积的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosA=sinA，结合sinA≠0可求$cosA=\frac{1}{3}$，进而可求sinA，又由余弦定理可得${b^2}+{c^2}-\frac{2}{3}bc=9$，结合b²+c²≥2bc，解得$bc≤\frac{27}{4}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，
∴利用正弦定理可得：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
即3sinAcosA=sinA，
又∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴$cosA=\frac{1}{3}$；
∴由sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，可得：$sinA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∵由a²=b²+c²-2bccosA，$a=3，cosA=\frac{1}{3}$得，${b^2}+{c^2}-\frac{2}{3}bc=9$，
而b²+c²≥2bc，
∴解得：$bc≤\frac{27}{4}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}•\frac{27}{4}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$，（$b=c=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$时，取等号），
∴${S_{max}}=\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．