Question

6．若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则$\frac{ac}{{b}^{2}}$的取值范围是（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）．

Answer 1

分析 用a，c表示出b，根据钝角三角形得出$\frac{c}{a}$的范围，将$\frac{ac}{{b}^{2}}$表示成$\frac{c}{a}$的函数，根据$\frac{c}{a}$的范围得出$\frac{ac}{{b}^{2}}$的范围．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，∴b=$\frac{a+c}{2}$．
∵△ABC是钝角三角形，∴c²＞a²+b²，即c²＞a²+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}$，∴3c²-5a²-2ac＞0．
即3（$\frac{c}{a}$）²-2$\frac{c}{a}$-5＞0，解得$\frac{c}{a}$＞$\frac{5}{3}$．
又a+b＞c，即a+$\frac{a+c}{2}$＞c，∴$\frac{c}{a}$＜3．
∴$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{ac}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}}$=$\frac{4ac}{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}$=$\frac{4}{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+2}$．
令$\frac{c}{a}=t$，则$\frac{a}{c}=\frac{1}{t}$，f（t）=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=t+$\frac{1}{t}$，
f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，∴当$\frac{5}{3}$＜t＜3时，f（t）为增函数，
∴当t→$\frac{5}{3}$时，$\frac{ac}{{b}^{2}}$→$\frac{4}{\frac{5}{3}+\frac{3}{5}+2}$=$\frac{15}{16}$，当t→3时，$\frac{ac}{{b}^{2}}$→$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$＜$\frac{ac}{{b}^{2}}$＜$\frac{15}{16}$．
故答案为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）．

点评 本题考查了等差数列的性质，余弦定理，函数的单调性的应用，考查换元法解题的数学思想，属于中档题．