Question

15．在数列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…中，已知a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
（1）求a₃，a₄；
（2）证明：a_n＞2^n-1（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．分别令n=3，4，即可得出．
（2）a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．变形为：a_n-a_n-1-a_n-2=2（a_n-1-a_n-2-a_n-3）．可得数列{a_n-a_n-1-a_n-2}是等比数列，首项为a₃-a₂-a₁=2，公比为2．
a_n+2-a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ．再利用数学归纳法证明即可得出．

解答 （1）解：∵a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
∴n=3时，a₃=3a₂-a₁-2a₀=3×3-1-2=6，
n=4时，a₄=3a₃-a₂-2a₁=3×6-3-2×1=13．
（2）证明：∵a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
变形为：a_n-a_n-1-a_n-2=2（a_n-1-a_n-2-a_n-3）．
∴数列{a_n-a_n-1-a_n-2}是等比数列，首项为a₃-a₂-a₁=2，公比为2．
∴a_n+2-a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
下面利用数学归纳法证明：
①n=2时，a₂=3＞2成立；n=3时，a₃=6＞2²=4，成立；n=4时，a₄=13＞2³，成立．
②假设2≤n≤k+1（k≥1）时都成立，则n=k+2时，
a_k+2=${a}_{k+1}+{a}_{k}+{2}^{k}$＞2^k+2^k-1+2^k＞2^k+1，成立．
因此n=k+2时成立，
综上可得：n≥2时，都有a_n＞2^n-1（n≥2）．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．