Question

5．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}（{a∈R}）$．
（Ⅰ）若f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）讨论函数f（x）在区间[1，e²]上零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）法一：求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
法二：通过讨论a的范围结合函数的单调性求出端点值和极值，求出函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
∵只需x-2y+1=0的斜率是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，
∴a=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$，由f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{a}}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）递增，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞）等价，
综上，当a≤0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞），
a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$），递减区间是（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞），
（Ⅲ）法一：由f（x）=0，得a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{2-4lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得，1＜x＜$\sqrt{e}$，由g′（x）＜0，得$\sqrt{e}$＜x＜e²，
∴g（x）在区间[1，$\sqrt{e}$]递增，在区间[$\sqrt{e}$，e²]递减，
又∵g（1）=0，g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，g（e²）=$\frac{4}{{e}^{4}}$，
∴当0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有一个零点，
当$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有2个零点，
当a＜0或a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上没有零点；
法二：由（Ⅱ）可知：
当a＜0时，f（x）在[1，e²]递增，∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有一个零点，
当a＞0时，
①若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e²]递减，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，∴f（x）在[1，e²]上没有零点；
②若1＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜e²，即$\frac{1}{{e}^{4}}$＜a＜1时，f（x）在[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$]上递增，在[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，e²]递减，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＜0，即a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上没有零点，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$=0，即a=$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有一个零点，
若$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$时，由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0得a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$，此时f（x）在[1，e²]有一个零点，
由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴≤0，得a≥$\frac{4}{{e}^{4}}$，此时在[1，e²]上有2个零点，
③若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥e²，即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{4}}$时，f（x）在[1，e²]单调递增，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有1个零点，
综上，当0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有1个零点；
当$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有2个零点，
当a＜0或a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]没有零点，
（法三：本题还可以转化为lnx=$\frac{1}{2}$ax²，再转化为y=lnx与y=$\frac{1}{2}$ax²的图象的交点个数问题，
可用数形结合的方法求解）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．