Question

19．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• B． $\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\sqrt{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$π
• D． 2$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 由三视图求出圆锥的高和底面半径，再求出截去的底面弧的圆心角，由扇形面积公式求出底面剩余部分的面积，代入锥体体积公式计算可得答案．

解答 解：由三视图得，圆锥底面半径为r=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
圆锥的高h=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由俯视图和侧视图可得：
截去的底面弧的圆心角α=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
底面剩余部分的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+\frac{1}{2}×\frac{3π}{2}×（\sqrt{2}）^{2}$=1+$\frac{3π}{2}$，
所以几何体的体积为：V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×（1+$\frac{3π}{2}$）×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．