Question

8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太级图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美、和谐美．现在定义：能够将圆O的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”，给出下列命题：
p₁：对于任意一个圆O，其对应的“太极函数”不唯一；
p₂：f（x）=e^x+e^-x可能是某个圆的一个“太极函数”；
p₃：圆O：（x-1）²+y²=36的一个“太极函数”为f（x）=-ln$\frac{5+x}{7-x}$；
p₄：“太极函数”的图象一定是中心对称图形．
其中正确的命题是（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₃
• C． p₂，p₃
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 根据新定义得关于圆心对称的函数为太极函数，而太极函数不一定关于圆心对称．

解答 解：（1）由定义可知过圆O的任一直线都是圆O的太极函数，故p₁正确；
（2）∵f（x）=e^x+e^-x是偶函数，∴f（x）不可能是某个圆的太极函数．故p₂错误；
（3）令$\frac{5+x}{7-x}$=1得x=1，∴f（x）=-ln$\frac{5+x}{7-x}$经过圆O的圆心（1，0）；
设P（x，y）是f（x）图象上一点，则P关于（1，0）的对称点P′（2-x，-y）．
f（2-x）=-ln$\frac{7-x}{5+x}$=ln$\frac{5+x}{7-x}$=-y，∴f（x）关于（1，0）对称，
∴f（x）为圆O：（x-1）²+y²=36的一个“太极函数”，故p₃正确；
（4）太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形．例如：

故选：B．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数的图象应用，属于中档题．