Question

15．记函数y=e^x在x=n（n=1，2，3，…）处的切线为l_n．若切线l_n与l_n+1的交点坐标为（A_n，B_n），那么（　　）

• A． 数列{A_n}是等差数列，数列{B_n}是等比数列
• B． 数列{A_n}与{B_n}都是等差数列
• C． 数列{A_n}是等比数列，数列{B_n}是等差数列
• D． 数列{A_n}与{B_n}都是等比数列

Answer 1

分析 求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线l_n的方程，l_n+1的方程，解方程可得A_n，B_n，再由等差数列和等比数列的通项公式，即可判断．

解答 解：函数y=e^x的导数为y′=e^x，
可得切线l_n的方程为y-eⁿ=eⁿ（x-n），①
l_n+1的方程为y-eⁿ⁺¹=eⁿ⁺¹（x-n-1），②
由①②解得A_n=n+$\frac{1}{e-1}$；
B_n=$\frac{{e}^{n+1}}{e-1}$，
即有数列{A_n}是首项为$\frac{e}{e-1}$，公差为1的等差数列，
数列{B_n}是首项为$\frac{{e}^{2}}{e-1}$，公比为e的等比数列．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查等差数列和等比数列的判断，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于中档题．