Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，点P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在椭圆C上，直线l：y=$\frac{1}{3}$x+t（t≠0）与椭圆C交于A，B两点．
（1）证明：直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为定值；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为定值；
（2）由（1）可知：利用弦长公式求得丨AB丨，根据点到直线的距离公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质即可求得△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：2x²+6tx+9t²-36=0，
由△＞0，解得：-2$\sqrt{2}$＜t＜2$\sqrt{2}$，
x₁+x₂=-3t，x₁x₂=$\frac{9{t}^{2}-36}{2}$，
直线PA的斜率k_PA=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-3\sqrt{2}}$，直线PB的斜率k_PB=$\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-3\sqrt{2}}$，
则k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-3\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-3\sqrt{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-3\sqrt{2}）+（{y}_{2}-\sqrt{2}）（{x}_{1}-3\sqrt{2}）}{（{x}_{1}-3\sqrt{2}）（{x}_{2}-3\sqrt{2}）}$，
由y₁=$\frac{1}{3}$x₁+t，y₂=$\frac{1}{3}$x₂+t，
∴k_PA+k_PB=$\frac{（{y}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-3\sqrt{2}）+（{y}_{2}-\sqrt{2}）（{x}_{1}-3\sqrt{2}）}{（{x}_{1}-3\sqrt{2}）（{x}_{2}-3\sqrt{2}）}$=$\frac{\frac{2}{3}{x}_{1}{x}_{2}+（t-2\sqrt{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-6\sqrt{2}（t-\sqrt{2}）}{（{x}_{1}-3\sqrt{2}）（{x}_{2}-3\sqrt{2}）}$，
由$\frac{2}{3}$x₁x₂+（t-2$\sqrt{2}$）（x₁+x₂）-6$\sqrt{2}$（t-$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{3}$（-3t）+（t-2$\sqrt{2}$）（$\frac{9{t}^{2}-36}{2}$）-6$\sqrt{2}$（t-$\sqrt{2}$）=0，
k_PA+k_PB=0，
∴直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为定值；
（2）由P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）到直线x-3y+3t的距离d=$\frac{丨3t丨}{\sqrt{10}}$，
线段丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{10（8-{t}^{2}）}$，
∴△PAB面积的S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{t}^{2}（8-{t}^{2}）}$≤$\frac{3}{2}$×4=6，
当且仅当t²=8-t²，即t=±2时，取等号，
∴△PAB面积的最大值为6．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．