Question

11．已知$P（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上，F为右焦点，PF⊥垂直于x轴，A，B，C，D为椭圆上的四个动点，且AC，BD交于原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断直线l：$\frac{m+n}{2}x+（{m-n}）y=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}m+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}n（{m，n∈R}）$与椭圆的位置关系；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）满足$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，判断k_AB+k_BC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PF⊥垂直于x轴，则c=$\sqrt{3}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程化简，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，则动直线l恒过P点，直线l与椭圆的位置关系是相切或相交；
（3）由$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，则4y₁y₂=x₁x₂，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及4y₁y₂=x₁x₂，求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：PF⊥垂直于x轴，则c=$\sqrt{3}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-3}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）将直线l：$\frac{m+n}{2}x+（{m-n}）y=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}m+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}n（{m，n∈R}）$，转化成（$\frac{x}{2}$+y-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）m+（$\frac{x}{2}$-y-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）n=0，
由m，n∈R，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{\frac{x}{2}-y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴动直线l恒过P点，
由P在椭圆上，
∴直线l与椭圆的位置关系是相切或相交；
（3）∵$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，则4y₁y₂=x₁x₂，
若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y₁y₂=x₁x₂；
直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∵4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（4k²-1）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（4k²-1）×$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+4km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+4m²=0．
整理得：k=±$\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是$\frac{1}{2}$，另一个就是-$\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，是定值．
不妨设k_AB=-$\frac{1}{2}$，则x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1）．
设原点到直线AB的距离为d，则S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{4{m}^{2}-4×2（{m}^{2}-1）}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
当m²=1时满足①取等号．
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查韦达定理的应用，考查基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题．