Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求证：AB∥EF．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥PC，CD⊥AC，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）由AB∥CD，平面CDEF∩平面PAB=EF，得到CD∥平面PAB，从而CD∥EF，由此能证明AB∥EF．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PC，
∵CD⊥AC，PC∩AC=C，
∴CD⊥平面PAC．
（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，
且平面CDEF∩平面PAB=EF，
又CD?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，
∴AB∥EF．

点评 本题考查线面垂直、线线平行的证明，考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．